Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2026 (convocatoria extraordinaria)

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}-3& 4& -6\\ -2& 1& -2\\ -11& 3& -8\end{array}\right)$ e $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

a) Resolver la ecuación matricial ${\displaystyle \frac{1}{4}}{A}^2-AX=B$. [0,5 puntos]

b) Discutir el sistema de ecuaciones $(A-\alpha I)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ en función del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$. [1,5 puntos]

c) Si $\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\mid =-2$, calcular el valor de $\mid \begin{array}{ccc}g-5a& 2d& a\\ 2h-10b& 4e& 2b\\ i-5c& 2f& c\end{array}\mid$. [0,5 puntos]

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4(x+1)}{(4+x^2{)}^2}},& \text{si }x<0,\\ {\displaystyle \frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}}+{\displaystyle \frac{x}{4}},& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

a) Estudiar las asíntotas de $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$. [1 punto]

Considere la función $f(x)=x\ln (x)$, con $x>0$.

a) Calcular la derivada de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcular una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcular el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX (abscisas) y las dos rectas $x=1$ y $x=2$. [1 punto]

Dado el plano $\pi \equiv x+y=0$, el punto $A(1,-1,0)$ y la recta $s\equiv x=y=z$, hallar la recta $r$, en su forma paramétrica, que pasa por $A$, está contenida en $\pi$ y corta a la recta $s$. [2,5 puntos]

Los puntos $A(1,1,1)$ y $B(0,2,0)$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD$. El centro del paralelogramo es $E(0,0,1)$.

a) Calcular las coordenadas de los otros vértices. [1 punto]

b) Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. [1 punto]

c) Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices $ABEO$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas. [0,5 puntos]

El agua almacenada diariamente en el pantano de Riaño durante el año 2025 (365 días) sigue una distribución normal con media $\mathrm{337,2}{\text{hm}}^3$ y desviación típica $\mathrm{40,5}{\text{hm}}^3$.

a) Elegido al azar un día del año 2025, calcular la probabilidad de que el agua almacenada haya sido superior a $\mathrm{299,94}{\text{hm}}^3$. [1 punto]

b) Calcular el número probable de días que en 2025 tuvieron almacenada una cantidad de agua comprendida entre $\mathrm{299,94}{\text{hm}}^3$ y $\mathrm{350,16}{\text{hm}}^3$. [1 punto]

c) Razonar, utilizando sólo resultados de los apartados anteriores, si, en este contexto, es correcto afirmar que «el número de días con una cantidad de agua almacenada comprendida entre $310{\text{hm}}^3$ y $330{\text{hm}}^3$ debería estar entre 170 y 180». [0,5 puntos]

Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el 45 %, Gloria el 30 % y María el resto. Además, se sabe que Lucía resuelve correctamente el 90 % de los ejercicios que realiza, Gloria el 95 % y María el 80 %.

a) Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada. [0,5 puntos]

Si la profesora escoge un ejercicio al azar:

b) Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente. [1 punto]

c) Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria. [1 punto]