Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Considere la función $f(x)=x\ln (x)$, con $x>0$.

a) Calcular la derivada de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcular una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcular el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX (abscisas) y las dos rectas $x=1$ y $x=2$. [1 punto]

Se trata de un producto, así que aplicamos la regla correspondiente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot \ln (x)+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln (x)+1$

La derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln (x)+1$, definida también para $x>0$.



Integramos por partes, eligiendo como $u$ el logaritmo, que es lo que se simplifica al derivar.

$\{\begin{array}{ll}u=\ln (x)& du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ dv=xdx& v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

$\int x\ln (x)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x)-\int {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x)-\int {\displaystyle \frac{x}{2}}dx$

$\int x\ln (x)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x)-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C$

Una primitiva es $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x)-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$, y se comprueba derivándola: $F^{\mathrm{\prime }}(x)=x\ln (x)+{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}=x\ln (x)$.



Antes de integrar hay que saber si la curva corta al eje dentro del intervalo, porque en ese caso habría que partir la integral. En $[1,2]$ se tiene $x>0$ y $\ln (x)\ge 0$, luego $f(x)\ge 0$ y el recinto queda entero por encima del eje: el área es directamente la integral definida.



$\mathcal{A}={\int }_1^{2}x\ln (x)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x)-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}]}_1^2$

$=(2\ln 2-1)-(0-{\displaystyle \frac{1}{4}})$

$\mathcal{A}=2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}\approx \mathrm{0,636}$

El área del recinto es $2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}\approx \mathrm{0,636}$ unidades de área.