Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)=x{e}^{-x}$ y el eje de abscisas cuando $x$ varía en el intervalo $[-1,0]$. [2 puntos]

Antes de integrar hay que averiguar de qué lado del eje queda el recinto, porque si está por debajo la integral sale negativa y el área es su valor absoluto. En $[-1,0]$ se tiene $x\le 0$ y la exponencial es siempre positiva, de modo que

$f(x)=x{e}^{-x}\le 0\text{en }[-1,0]$



Calculamos una primitiva integrando por partes, tomando como $u$ el polinomio:

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=e^{-x}dx& v=-e^{-x}\end{array}$

$\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}=-e^{-x}(x+1)$

Aplicamos la regla de Barrow:

${\int }_{-1}^{0}x{e}^{-x}dx={[-e^{-x}(x+1)]}_{-1}^0=(-1\cdot 1)-(-e^1\cdot 0)=-1$

Como el recinto queda bajo el eje, el área es el valor absoluto de ese resultado:

$\mathcal{A}=\mid -1\mid =1$

El área del recinto es de $1$ unidad de área.