Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Dadas las curvas de ecuaciones $y=\sqrt{3x}$, $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$:

a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. [1 punto]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{curvas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{ale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{comprendido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La primera curva, $y=\sqrt{3x}$, es media parábola tumbada: solo existe para $x\ge 0$, arranca en el origen y crece cada vez más despacio. La segunda, $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$, es una parábola de vértice el origen y ramas hacia arriba.

Los extremos del recinto son sus puntos de corte, que obtenemos igualando las dos ecuaciones y elevando al cuadrado:

$\sqrt{3x}={\displaystyle \frac{x^2}{3}}\Rightarrow 3x={\displaystyle \frac{x^4}{9}}\Rightarrow 27x=x^4$

$x^4-27x=0\Rightarrow x(x^3-27)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

Las dos soluciones son válidas, ya que ambas cumplen $x\ge 0$, y los puntos de corte son $(0,0)$ y $(3,3)$.

Entre ambas abscisas la raíz va por encima de la parábola, como se comprueba en un punto intermedio:

$\text{Si }x=1:\sqrt{3}\approx \mathrm{1,73}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área es la integral, entre las abscisas de corte, de la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$\mathcal{A}={\int }_0^3(\sqrt{3x}-{\displaystyle \frac{x^2}{3}})dx=\sqrt{3}{\int }_0^3{x}^{1\mathrm{/}2}dx-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^3{x}^{2}dx$

$=\sqrt{3}{\left[{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3\mathrm{/}2}\right]}_0^3-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^3$

$=\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 3\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 9=6-3=3$

El área del recinto es de $3$ unidades de área.