Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

a) Dadas las funciones $f(x)=x^2$, $g(x)=-x^2+8$, hallar los valores de $x\in \mathbb{R}$ para los que $g(x)\ge f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. [1,5 puntos]

Pasamos todo a un miembro y resolvemos la inecuación resultante.

$-x^2+8\ge x^2\Rightarrow 8\ge 2x^2\Rightarrow x^2\le 4$

$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 2\Rightarrow -2\le x\le 2$

La parábola $g$ va por encima de $f$ exactamente en el intervalo $[-2,2]$, y las dos se cortan en sus extremos, $x=-2$ y $x=2$.



El recinto está limitado por los dos puntos de corte, y por el apartado anterior sabemos cuál de las dos curvas queda arriba, así que el área es la integral de la diferencia sin necesidad de partirla.



$\mathcal{A}={\int }_{-2}^2[g(x)-f(x)]dx={\int }_{-2}^2(8-2x^2)dx$

$={[8x-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_{-2}^2=(16-{\displaystyle \frac{16}{3}})-(-16+{\displaystyle \frac{16}{3}})$

$=32-{\displaystyle \frac{32}{3}}={\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}$

El área del recinto es de ${\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}$ unidades de área.