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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria ordinaria de 2023. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Calcular λ y μ para que el sistema de ecuaciones lineales

{x+2y+z=μλx+y=1y+λz=−1

tenga infinitas soluciones. [2 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Dadas las matrices A=(101−110), B=(x0y1zx+y) y C=(1−1−12), calcular los valores de x, y, z∈R para que AB sea igual a la inversa C−1 de la matriz C. [2 puntos]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Calcular la ecuación del plano π que es perpendicular al plano σ≡x+2y+3z=0 y pasa por los puntos P=(0,0,0) y Q=(0,1,1). [2 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Dados el plano π≡x+2y−2z=0 y la recta r≡x−2=y−42=z−11, se pide:

a) Comprobar que r es paralela a π. [1 punto]

b) Hallar el plano σ, distinto de π y paralelo a π, cuya distancia a r coincide con la de π. [1 punto]

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Ejercicio 5: Derivadas

a) Determinar a y b de modo que las funciones f(x)=x2−a y g(x)=(x−b)ex tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. [1 punto]

b) Demostrar que la función f(x)=2x+sen⁡x solo se anula en el punto x=0. [1 punto]

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Ejercicio 6: Funciones

a) Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función f(x)=x(ln⁡x−1). [1 punto]

b) Calcúlese ∫x(ln⁡x−1) dx. [1 punto]

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Ejercicio 7: Límites y continuidad

Calcular lim⁡x→2x3+x−1−x3+1x−2. [2 puntos]

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Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=xe−x y el eje de abscisas cuando x varía en el intervalo [−1,0]. [2 puntos]

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Ejercicio 9: Probabilidad

Un 50 % de los participantes en un torneo abierto de ajedrez celebrado en Salamanca son españoles, un 30 % son europeos no españoles y los demás proceden del resto del mundo. De ellos, dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos no pasan de los 40 años.

a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]

b) Si se selecciona un participante al azar, calcular la probabilidad de que no tenga más de 40 años. [0,7 puntos]

c) Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? [0,7 puntos]

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Ejercicio 10: Probabilidad

Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente? [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 10

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