Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ y& 1\\ z& x+y\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, calcular los valores de $x$, $y$, $z\in \mathbb{R}$ para que $AB$ sea igual a la inversa $C^{-1}$ de la matriz $C$. [2 puntos]

El plan es calcular por un lado la inversa de $C$ y por otro el producto $AB$ en función de las incógnitas, e igualar los dos resultados elemento a elemento.

Empezamos comprobando que $C$ es invertible:

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0$

$C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(C^t\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Ahora el producto, que es de orden $2\times 2$ por ser $A$ de orden $2\times 3$ y $B$ de orden $3\times 2$:

$AB=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ y& 1\\ z& x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+z& x+y\\ -x+y& 1\end{array}\right)$

Igualamos las dos matrices:

$\left(\begin{array}{cc}x+z& x+y\\ -x+y& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+z=2\\ x+y=1\\ -x+y=1\end{array}$

El elemento de la esquina inferior derecha se cumple solo, ya que vale $1$ en las dos matrices. Restando la tercera ecuación de la segunda desaparece $y$:

$(x+y)-(-x+y)=1-1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$y=1z=2-x=2$

Comprobamos el resultado sustituyendo en el producto:

$AB=\left(\begin{array}{cc}0+2& 0+1\\ 0+1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=C^{-1}$

Los valores pedidos son $x=0$, $y=1$ y $z=2$.