Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)$, hállese la matriz $X$ tal que $AX+B=C$. [1,2 puntos]

b) Dadas las matrices $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$, $N=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, explíquese cuáles de los productos $MN$, $MP$, $NP$ pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda. [0,8 puntos]

Despejamos $X$ pasando $B$ al otro miembro y multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica.

$AX=C-B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

La matriz $A$ es invertible:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$

$X=A^{-1}(C-B)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Se comprueba sustituyendo: $AX+B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)=C$.



Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. Anotamos los órdenes:

$M$ es $2\times 3$, $N$ es $2\times 2$ y $P$ es $3\times 2$.

$MN:(2\times \mathbf{3})\cdot (\mathbf{2}\times 2)\Rightarrow 3\mathrm{\ne }2$, no se puede calcular.

$NP:(2\times \mathbf{2})\cdot (\mathbf{3}\times 2)\Rightarrow 2\mathrm{\ne }3$, tampoco.

$MP:(2\times \mathbf{3})\cdot (\mathbf{3}\times 2)\Rightarrow$ sí se puede, y el resultado es de orden $2\times 2$.

$MP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

El único producto posible es $MP$, y resulta ser la matriz identidad de orden $2$.