Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2026

a) Dos productos $A$ y $B$ compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda:

$x_a=17-2p_a+\frac{1}{2}{p}_b,x_b=20-3p_b+\frac{1}{2}{p}_a$

Las ecuaciones de oferta son:

$p_a=2+x_a+\frac{1}{3}{x}_b,p_b=2+\frac{1}{2}{x}_b+\frac{1}{4}{x}_a$

que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcule los valores de equilibrio de $x_a$, $x_b$, $p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: [1 punto]

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\mathrm{/}2\\ 0& 1& -1\mathrm{/}2& 3\\ -1& -1\mathrm{/}3& 1& 0\\ -1\mathrm{/}4& -1\mathrm{/}2& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ x_b\\ p_a\\ p_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}17\\ 20\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

b) Dada la matriz $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, calcule $A=I_4-X(X^{t}X{)}^{-1}{X}^t$ y compruebe que es idempotente, es decir, que $A^2=A$. [1 punto]

El sistema escrito en forma matricial es

$\{\begin{array}{l}{x}_a+2p_a-\frac{1}{2}{p}_b=17\\ x_b-\frac{1}{2}{p}_a+3p_b=20\\ -x_a-\frac{1}{3}{x}_b+p_a=2\\ -\frac{1}{4}{x}_a-\frac{1}{2}{x}_b+p_b=2\end{array}$

Conviene despejar los precios de las dos últimas ecuaciones, que son las de oferta, y llevarlos a las dos primeras:

$p_a=2+x_a+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}_b;p_b=2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_a+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_b$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$x_a+2(2+x_a+{\displaystyle \frac{x_b}{3}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(2+{\displaystyle \frac{x_a}{4}}+{\displaystyle \frac{x_b}{2}})=17$

$x_a+4+2x_a+{\displaystyle \frac{2x_b}{3}}-1-{\displaystyle \frac{x_a}{8}}-{\displaystyle \frac{x_b}{4}}=17$

${\displaystyle \frac{23}{8}}{x}_a+{\displaystyle \frac{5}{12}}{x}_b=14$

Y en la segunda:

$x_b-{\displaystyle \frac{1}{2}}(2+x_a+{\displaystyle \frac{x_b}{3}})+3(2+{\displaystyle \frac{x_a}{4}}+{\displaystyle \frac{x_b}{2}})=20$

$x_b-1-{\displaystyle \frac{x_a}{2}}-{\displaystyle \frac{x_b}{6}}+6+{\displaystyle \frac{3x_a}{4}}+{\displaystyle \frac{3x_b}{2}}=20$

${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_a+{\displaystyle \frac{7}{3}}{x}_b=15$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Multiplicando la primera por 24 y la segunda por 12:

$\{\begin{array}{l}69x_a+10x_b=336\\ 3x_a+28x_b=180\end{array}$

Se multiplica la segunda por 23 y se resta de la primera:

$69x_a+644x_b=4140\Rightarrow 634x_b=3804\Rightarrow x_b=6$

$3x_a+168=180\Rightarrow x_a=4$

Y con ellos se recuperan los precios:

$p_a=2+4+{\displaystyle \frac{6}{3}}=8;p_b=2+{\displaystyle \frac{4}{4}}+{\displaystyle \frac{6}{2}}=6$

Los valores de equilibrio son $x_a=4$, $x_b=6$, $p_a=8$ y $p_b=6$.



Se calcula primero el producto $X^{t}X$, que es de orden 2:

$X^{t}X=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 7& 15\end{array}\right)$

Su determinante vale $60-49=11\mathrm{\ne }0$, de modo que la inversa existe:

${\left(X^{t}X\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{11}}\left(\begin{array}{cc}15& -7\\ -7& 4\end{array}\right)$

Se opera después de dentro hacia fuera:

$X{\left(X^{t}X\right)}^{-1}{X}^t={\displaystyle \frac{1}{11}}\left(\begin{array}{cccc}5& 2& 5& -1\\ 2& 3& 2& 4\\ 5& 2& 5& -1\\ -1& 4& -1& 9\end{array}\right)$

$A=I_4-X{\left(X^{t}X\right)}^{-1}{X}^t={\displaystyle \frac{1}{11}}\left(\begin{array}{cccc}6& -2& -5& 1\\ -2& 8& -2& -4\\ -5& -2& 6& 1\\ 1& -4& 1& 2\end{array}\right)$

Para comprobar que es idempotente no hace falta multiplicar las dos matrices: basta desarrollar el cuadrado usando que $X^{t}X$ y su inversa se cancelan. Llamando $H=X{\left(X^{t}X\right)}^{-1}{X}^t$,

$H^2=X{\left(X^{t}X\right)}^{-1}\underset{}{\underbrace{X^{t}X}}{\left(X^{t}X\right)}^{-1}{X}^t=X{\left(X^{t}X\right)}^{-1}{X}^t=H$

$A^2=(I-H{)}^2=I-2H+H^2=I-2H+H=I-H=A$

La matriz $A$ es idempotente. Se comprueba además que su traza vale 2, como corresponde a una matriz idempotente de rango 2.