Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}3\mathrm{/}5& x& 0\\ y& -3\mathrm{/}5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, halle $x$ e $y$ para que su inversa, $A^{-1}$, coincida con su traspuesta, $A^T$. En tal caso, halle $A^T{A}^2-2A$. [2 puntos]

Pedir que la inversa coincida con la traspuesta equivale a pedir que el producto de la matriz por su traspuesta sea la identidad, que es la condición de matriz ortogonal. Así se evita calcular la inversa:

$A^{-1}=A^T⟺A{A}^T=I$

Se efectúa el producto:

$A{A}^T=\left(\begin{array}{ccc}3\mathrm{/}5& x& 0\\ y& -3\mathrm{/}5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3\mathrm{/}5& y& 0\\ x& -3\mathrm{/}5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{9}{25}+x^2& \frac{3}{5}y-\frac{3}{5}x& 0\\ \frac{3}{5}y-\frac{3}{5}x& y^2+\frac{9}{25}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Igualando a la identidad se obtienen tres condiciones:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{9}{25}}+x^2=1\\ y^2+{\displaystyle \frac{9}{25}}=1\\ {\displaystyle \frac{3}{5}}(y-x)=0\end{array}$

De las dos primeras, $x^2=y^2={\displaystyle \frac{16}{25}}$, es decir $x=\pm {\displaystyle \frac{4}{5}}$ e $y=\pm {\displaystyle \frac{4}{5}}$; la tercera obliga a que $y=x$. Hay por tanto dos soluciones:

$x=y={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{o}x=y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

Para la segunda parte no hace falta multiplicar nada. Como $A^T=A^{-1}$:

$A^T{A}^2=A^{-1}AA=IA=A$

$A^T{A}^2-2A=A-2A=-A$

Escribiendo el resultado en cada uno de los dos casos:

$x=y={\displaystyle \frac{4}{5}}\Rightarrow A^T{A}^2-2A=\left(\begin{array}{ccc}-3\mathrm{/}5& -4\mathrm{/}5& 0\\ -4\mathrm{/}5& 3\mathrm{/}5& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

$x=y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\Rightarrow A^T{A}^2-2A=\left(\begin{array}{ccc}-3\mathrm{/}5& 4\mathrm{/}5& 0\\ 4\mathrm{/}5& 3\mathrm{/}5& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

En los dos casos la matriz pedida es $-A$.