Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

Determine para qué valores del parámetro real $a$ la matriz [2 puntos]

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ 1& 1& a+1\\ a+1& 1& 1\end{array}\right)$

tiene inversa. Calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a=2$.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En esta las tres filas suman lo mismo, así que conviene sumar a la primera columna las otras dos y sacar el factor común:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ 1& 1& a+1\\ a+1& 1& 1\end{array}\mid =\mid \begin{array}{ccc}a+3& a+1& 1\\ a+3& 1& a+1\\ a+3& 1& 1\end{array}\mid =(a+3)\mid \begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ 1& 1& a+1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid$

Restando la tercera fila a las dos primeras aparecen dos ceros por fila:

$=(a+3)\mid \begin{array}{ccc}0& a& 0\\ 0& 0& a\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(a+3)\cdot 1\cdot \mid \begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\mid =a^2(a+3)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0\text{o}a=-3$

Por tanto $A$ tiene inversa para todo $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }-3$.

Para $a=2$ el determinante vale $2^2\cdot 5=20\mathrm{\ne }0$, luego la inversa existe. La matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 1& 1& 3\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$

Se calcula por el método de la matriz adjunta, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{\left(\text{Adj}A\right)}^T$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\mid =-2,A_{12}=-\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\mid =8,A_{13}=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\mid =-2$

$A_{21}=-\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =-2,A_{22}=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\mid =-2,A_{23}=-\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\mid =8$

$A_{31}=\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\mid =8,A_{32}=-\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\mid =-2,A_{33}=\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\mid =-2$

Colocando los adjuntos traspuestos y dividiendo por el determinante:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{20}}\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 8\\ 8& -2& -2\\ -2& 8& -2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 4\\ 4& -1& -1\\ -1& 4& -1\end{array}\right)$

Se comprueba con la primera fila de $A$: $(1,3,1)\cdot \frac{1}{10}(-1,4,-1)=\frac{-1+12-1}{10}=1$, y las otras dos columnas dan cero.