Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& -a\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}a-4& -1\\ 0& 2a\end{array}\right)$, halle $a$ para que $A^2-A=12I+B$, con $I$ la matriz identidad de orden 2. A continuación, halle la matriz $X$ tal que $XA=AX=I$. [2 puntos]

Se calcula primero el cuadrado de $A$:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& -a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& -a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& a-a\\ 0& a^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& a^2\end{array}\right)$

Ahora los dos miembros de la igualdad:

$A^2-A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-a& -1\\ 0& a^2+a\end{array}\right)$

$12I+B=\left(\begin{array}{cc}12& 0\\ 0& 12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}a-4& -1\\ 0& 2a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+8& -1\\ 0& 2a+12\end{array}\right)$

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento. Los de la primera fila segunda columna ya coinciden, y los de la diagonal dan dos ecuaciones:

$a^2-a=a+8\Rightarrow a^2-2a-8=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 6}{2}}\Rightarrow a=4\text{ o }a=-2$

$a^2+a=2a+12\Rightarrow a^2-a-12=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+48}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 7}{2}}\Rightarrow a=4\text{ o }a=-3$

La igualdad exige que se cumplan las dos a la vez, y el único valor común es

$a=4$

Para la segunda parte, la matriz $X$ que cumple $XA=AX=I$ es por definición la inversa de $A$. Con $a=4$:

$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& -4\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-16\mathrm{\ne }0$

luego la inversa existe. Para una matriz de orden 2:

$X=A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-16}}\left(\begin{array}{cc}-4& -1\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}16\\ 0& -1\mathrm{/}4\end{array}\right)$

Se comprueba el producto:

$\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}16\\ 0& -1\mathrm{/}4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{4}{16}-\frac{1}{4}\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

La igualdad se cumple para $a=4$, y entonces $X=\left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}16\\ 0& -1\mathrm{/}4\end{array}\right)$.