Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2022

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 1& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$. [2 puntos]

i) Determine para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa.

ii) Resuelva para $a=0$ la ecuación matricial $ABX=3I$, siendo $I$ la matriz identidad.

Antes de nada hay que comprobar que el producto se puede hacer y de qué tamaño sale: $A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$, de modo que $AB$ es una matriz cuadrada de orden 2 y tiene sentido hablar de su inversa.

$AB=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 1& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+6& 2a+4\\ 2& 1\end{array}\right)$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula:

$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a+6& 2a+4\\ 2& 1\end{array}\mid =(a+6)-2(2a+4)=a+6-4a-8=-3a-2$

$-3a-2=0\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Por tanto $AB$ tiene inversa para todo $a\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.



Para $a=0$ se tiene $a\mathrm{\ne }-\frac{2}{3}$, así que $AB$ es invertible y se puede despejar multiplicando por la izquierda:

$ABX=3I\Rightarrow (AB{)}^{-1}ABX=3(AB{)}^{-1}I\Rightarrow X=3(AB{)}^{-1}$

Con $a=0$:

$AB=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 2& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=6-8=-2$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante:

$(AB{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 2\\ 1& -3\end{array}\right)$

$X=3\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 2\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& 6\\ 3& -9\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& 6\\ 3& -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I$