Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)$, calcule $A^{-1}$ y $A^{20}$ utilizando necesariamente la identidad $A^3=-I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden tres. [2 puntos]

Toda la cuestión se apoya en la identidad que da el enunciado, de modo que no hace falta ni calcular determinantes ni multiplicar veinte veces. Primero se obtiene $A^2$, que es la única potencia que va a hacer falta:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 4& 4\\ -1& -3& -3\end{array}\right)$

Para la inversa se escribe la identidad separando un factor $A$:

$A^3=-I\Rightarrow A\cdot A^2=-I\Rightarrow A\cdot (-A^2)=I$

Por definición de matriz inversa, y como el producto también funciona por el otro lado, esto dice que

$A^{-1}=-A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& -4& -4\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$

De paso queda probado que $A$ es invertible, sin calcular su determinante.

Para la potencia se divide 20 entre 3, que es el periodo que impone la identidad:

$20=3\cdot 6+2\Rightarrow A^{20}={\left(A^3\right)}^6\cdot A^2$

${\left(A^3\right)}^6=(-I{)}^6=I$

porque el exponente es par y $(-I{)}^2=I$. Por tanto

$A^{20}=I\cdot A^2=A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 4& 4\\ -1& -3& -3\end{array}\right)$