Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2021

Halle las matrices $A-B$, $A$ y $B$, sabiendo que las matrices $A$ y $B$ satisfacen las siguientes identidades: [2 puntos]

$A+B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),A^2-AB+BA-B^2=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ -2& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

La clave está en reconocer que el segundo dato se factoriza. Con matrices no vale la identidad $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$, porque el producto no es conmutativo, pero sí la siguiente, que es la que aparece en el enunciado:

$(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$

Llamando $S=A+B$ y $T=A-B$, el problema se reduce a resolver $ST=P$, donde $P$ es la segunda matriz dada.

$\mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

luego $S$ tiene inversa y se puede despejar multiplicando por la izquierda:

$T=S^{-1}P$

Se calcula la inversa por el método de la matriz adjunta:

$S^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

como se comprueba multiplicando: $S{S}^{-1}=I$.

$A-B=T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ -2& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 2& 1& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)$

Conocidas la suma y la diferencia, cada matriz sale de la semisuma y la semidiferencia:

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}(S+T)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -3\\ 2& 0& 0\\ 3& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -\frac{3}{2}\\ 1& 0& 0\\ \frac{3}{2}& 0& \frac{3}{2}\end{array}\right)$

$B={\displaystyle \frac{1}{2}}(S-T)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -2& -2& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2}\\ -1& -1& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Se comprueba que $A+B$ es la matriz del enunciado y que $A-B$ es la $T$ calculada.