Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ m& 0& 2\end{array}\right)$, con $m\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$. [2 puntos]

a) Halle $\alpha$ y $\beta$ de tal forma que $A^2=\alpha A+\beta I$, siendo $I$ la matriz identidad.

b) Calcule $A^5$ utilizando la anterior identidad.

Se calcula primero el cuadrado de la matriz:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ m& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ m& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 4m& 0& 4\end{array}\right)$

Y el segundo miembro de la identidad que se quiere:

$\alpha A+\beta I=\left(\begin{array}{ccc}2\alpha +\beta & 0& 0\\ 0& 2\alpha +\beta & 0\\ \alpha m& 0& 2\alpha +\beta \end{array}\right)$

Igualando elemento a elemento quedan dos condiciones distintas:

$\{\begin{array}{l}2\alpha +\beta =4\\ \alpha m=4m\end{array}$

Como el enunciado excluye $m=0$, se puede dividir por $m$ en la segunda:

$\alpha =4\Rightarrow \beta =4-8=-4$

$A^2=4A-4I$



La identidad permite bajar cualquier potencia a una combinación de $A$ e $I$, multiplicando repetidamente por $A$ y volviendo a sustituir $A^2$ cada vez que aparece.

$A^3=A\cdot A^2=A(4A-4I)=4A^2-4A=4(4A-4I)-4A=12A-16I$

$A^4=A\cdot A^3=12A^2-16A=12(4A-4I)-16A=32A-48I$

$A^5=A\cdot A^4=32A^2-48A=32(4A-4I)-48A=80A-128I$

Sustituyendo la matriz:

$A^5=80\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ m& 0& 2\end{array}\right)-128\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}32& 0& 0\\ 0& 32& 0\\ 80m& 0& 32\end{array}\right)$