Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2026

Para cada $a\in \mathbb{R}$ se considera la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -2\\ 0& 3& -4\\ a& 2& -3\end{array}\right)$. Se pide:

a) Calcule todos los valores de $a\in \mathbb{R}$ que hacen que $A^2=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

b) Si una matriz $B$ de tamaño $3\times 3$ verifica que $B^2=2I$, ¿qué valores puede tomar $\det (B)$? [0,5 puntos]

c) Calcule el rango y el determinante de la matriz $A$ para cada valor de $a\in \mathbb{R}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{reales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{A²}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{I,}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{I}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{identidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{3.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se calcula el producto $A\cdot A$ dejando $a$ como parámetro:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -2\\ 0& 3& -4\\ a& 2& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -2\\ 0& 3& -4\\ a& 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1-2a& 0& 0\\ -4a& 1& 0\\ -4a& 2a& 1-2a\end{array}\right)$

Para que $A^2=I$ han de cumplirse a la vez

$1-2a=1,-4a=0,2a=0$

y las tres conducen a lo mismo. El único valor es

$a=0$

Con $a=0$ se comprueba que, en efecto, $A^2=I$: la matriz es su propia inversa (una involución).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{×}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{verifica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{B²}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2I,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{tomar}}\mathbf{\text{det(B)?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se toman determinantes en la igualdad, usando que el determinante de un producto es el producto de determinantes y que al multiplicar una matriz $3\times 3$ por un escalar el determinante queda multiplicado por el cubo de ese escalar:

$\det (B^2)=\det (B{)}^2\det (2I)=2^3\det (I)=8$

$\det (B{)}^2=8\Rightarrow \det (B)=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}$

Los dos valores posibles son $2\sqrt{2}$ y $-2\sqrt{2}$. Obsérvese el contraste con el apartado a): allí $A^2=I$ obligaba a $\det (A)=\pm 1$, y en efecto para $a=0$ el determinante vale 1.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{real.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Desarrollando por la primera fila:

$\det (A)=-1\mid \begin{array}{cc}3& -4\\ 2& -3\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}0& -4\\ a& -3\end{array}\mid +(-2)\mid \begin{array}{cc}0& 3\\ a& 2\end{array}\mid$

$\det (A)=-1(-9+8)-2(0+4a)-2(0-3a)=1-8a+6a=1-2a$

Se anula solo para $a=\frac{1}{2}$, de modo que:

$\mathbf{\text{Si}}a\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$: $\det (A)=1-2a\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

$\mathbf{\text{Si}}a=\frac{1}{2}$: $\det (A)=0$, luego el rango es menor que 3; y como el menor formado por las dos primeras filas y columnas vale

$\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 3\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0$

el rango es exactamente 2.

En resumen, $\det (A)=1-2a$ siempre, y el rango es 3 salvo para $a=\frac{1}{2}$, donde baja a 2. Coherentemente, para $a=0$ sale $\det (A)=1$, como exigía el apartado a).