Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

Hallar dos matrices cuadradas de dimensión 3 tales que al sumar la primera con el doble de la segunda se obtiene la matriz $A$. Y, si se le resta a la primera el doble de la segunda se obtiene la inversa de $A$. [2 puntos]

Llamamos $X$ a la primera matriz e $Y$ a la segunda. Las dos condiciones del enunciado forman un sistema de dos ecuaciones matriciales.

$\begin{array}{r}X+2Y=A\\ X-2Y=A^{-1}\end{array}\}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$, y restándolas desaparece $X$, con lo que ambas matrices quedan despejadas en función de $A$ y de su inversa.

$2X=A+A^{-1}\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{2}}(A+A^{-1})$

$4Y=A-A^{-1}\Rightarrow Y={\displaystyle \frac{1}{4}}(A-A^{-1})$

Hace falta, por tanto, la inversa de $A$. Existe porque su determinante no se anula: desarrollando por la segunda fila,

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\mid =1$

Calculamos la inversa por el método de la adjunta, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{\left(\text{Adj}A\right)}^t$.

$\text{Adj}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -2& 1& -3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& -3& 1\end{array}\right)$

Ya solo queda operar. Para $X$:

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}[\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& -3& 1\end{array}\right)]={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& -2& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$

Y para $Y$:

$Y={\displaystyle \frac{1}{4}}[\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& -3& 1\end{array}\right)]={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 0\\ 0& 0& 0\\ -2& 4& 0\end{array}\right)$

$Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1& 0\end{array}\right)$

Se comprueba que las dos matrices cumplen lo pedido: al sumar la primera con el doble de la segunda,

$X+2Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 0& 0& 0\\ -1& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\right)=A$

y al restarle el doble de la segunda,

$X-2Y=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& -3& 1\end{array}\right)=A^{-1}$

Las dos matrices cuadradas de dimensión 3 que pide el enunciado son, por tanto, $X$ e $Y$, y la solución es única porque el sistema matricial se resuelve despejando sin ninguna elección libre.