Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sea el sistema de ecuaciones $A\cdot X-B=X$, con $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& m\end{array}\right)$, tal que $m\in \mathbb{R}$, y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Además, la matriz $X$ es de dimensión $2\times 2$.

a) [1,5 puntos] ¿Para qué valores del parámetro $m$ el sistema anterior tiene solución única?

b) [1 punto] Para $m=1$, resuelva el sistema y obtenga el valor de $X$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}$

Despejamos la matriz incógnita agrupando los términos en $X$, sin olvidar que el producto de matrices no es conmutativo y que $X=I\cdot X$.

$A\cdot X-B=X\Rightarrow A\cdot X-X=B\Rightarrow (A-I)\cdot X=B$

$A-I=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& m\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& m-1\end{array}\right)$

La ecuación matricial tiene solución única cuando $A-I$ es invertible, es decir, cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& m-1\end{array}\mid =(m-1)-1=m-2$

$\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m=2$

El sistema tiene solución única, $X=(A-I{)}^{-1}B$, para todo $m\mathrm{\ne }2$.



Para $m=1$ se cumple $m\mathrm{\ne }2$, luego la matriz es invertible y podemos despejar.

$A-I=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right),\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=-1$

Calculamos la inversa con la fórmula de la matriz de orden dos, cambiando la diagonal principal de sitio y el signo a la secundaria.

$(A-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$X=(A-I{)}^{-1}\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 1+1\cdot 1& 0\cdot 1+1\cdot 0\\ 1\cdot 1-1\cdot 1& 1\cdot 1-1\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A\cdot X-B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=X$

La solución es la matriz identidad, $X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.