Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Dadas las matrices $A=\left[\begin{array}{ccc}k& -1& 1\\ 1& 0& k\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$, $C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$

a) Calcule el valor de $k$ para el cual se verifica que $A^t\cdot B=C$. [0,75 puntos]

b) Calcule el valor o valores de $k$ para los cuales existe la inversa de $A\cdot C$ y calcule la inversa de $A\cdot C$ para el caso $k=0$. [1 punto]

c) Calcule el valor de $k$ para el cual se cumple que $B^2=B-I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. [0,75 puntos]

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento, así que calculamos el producto y comparamos las seis posiciones con las de $C$.

$A^t=\left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\\ 1& k\end{array}\right]\Rightarrow A^t\cdot B=\left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\\ 1& k\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{k}^2-1& k\\ -k& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{k}^2-1& k\\ -k& -1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$

La segunda posición de la primera fila da directamente $k=1$, y ese valor cumple también las demás: $k^2-1=0$ y $-k=-1$.

El valor pedido es $k=1$.



El producto de una matriz $2\times 3$ por otra $3\times 2$ es cuadrada de orden 2, y tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$A\cdot C=\left[\begin{array}{ccc}k& -1& 1\\ 1& 0& k\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& k+2\\ 0& k+1\end{array}\right]$

$\mathrm{\mid }A\cdot C\mathrm{\mid }=1\cdot (k+1)-0=k+1$

$k+1\mathrm{\ne }0\Rightarrow k\mathrm{\ne }-1$

Existe la inversa para todo valor de $k$ distinto de $-1$. Para $k=0$:

$A\cdot C=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]\mathrm{\mid }A\cdot C\mathrm{\mid }=1$

$(A\cdot C{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$

Se comprueba: $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$.



Calculamos los dos miembros y los igualamos posición a posición.

$B^2=\left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{k}^2-1& k\\ -k& -1\end{array}\right]B-I=\left[\begin{array}{cc}k-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$

$\{\begin{array}{l}{k}^2-1=k-1\\ k=1\\ -k=-1\\ -1=-1\end{array}$

La primera ecuación da $k^2-k=0$, es decir $k=0$ o $k=1$; las otras dos obligan a $k=1$, que es el único valor común.

El valor pedido es $k=1$.