Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sean las matrices $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 2& 3& 5\\ 1& 3& 1\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 2& 1& -3\end{array}\right]$

a) Obtenga la inversa de la matriz $A^T+I$, donde $I$ es la matriz unidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A^{T}X-I=2B-X$ ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$). [1,25 puntos]

Trasponemos $A$, le sumamos la identidad y comprobamos que el determinante no es nulo antes de invertir.

$A^T+I=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 2& 3& 3\\ 3& 5& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 3\\ 3& 5& 2\end{array}\right]$

$\mid A^T+I\mid =1(8-15)-2(4-9)+1(10-12)=-7+10-2=1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero existe la inversa, y la calculamos por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A^T+I)=\left[\begin{array}{ccc}-7& 5& -2\\ 1& -1& 1\\ 2& -1& 0\end{array}\right]$

${(A^T+I)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}{[\mathrm{Adj}(A^T+I)]}^t=\left[\begin{array}{ccc}-7& 1& 2\\ 5& -1& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right]$

Se comprueba multiplicando: $(A^T+I)\cdot {(A^T+I)}^{-1}=I$.



Agrupamos en un miembro los dos términos con la incógnita, que en ambos está multiplicada por la izquierda, y sacamos factor común por ese lado.

$A^{T}X+X=2B+I\Rightarrow (A^T+I)X=2B+I\Rightarrow X={(A^T+I)}^{-1}(2B+I)$

$2B+I=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 0& -2& 2\\ 4& 2& -6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -1& 2\\ 4& 2& -5\end{array}\right]$

Usamos la inversa del apartado anterior.

$X=\left[\begin{array}{ccc}-7& 1& 2\\ 5& -1& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -1& 2\\ 4& 2& -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}15& 3& -22\\ -9& -1& 13\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$

Se comprueba el resultado: $(A^T+I)X=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -1& 2\\ 4& 2& -5\end{array}\right]=2B+I$.

La matriz buscada es $X=\left[\begin{array}{ccc}15& 3& -22\\ -9& -1& 13\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$.