Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$ y el vector $b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, se pide:

2.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones $Ax=Bx+b$. (1 punto)
2.2.2 Hallar el valor de $\det (A^5(2B{)}^{-1})$. (0.75 puntos)
2.2.3 Calcular los valores de $\alpha$ y $\beta$, si existen, que satisfacen $\alpha A+\beta B=I$, siendo $I$ la matriz identidad. (0.75 puntos)

Agrupamos la incógnita en un mismo miembro:

$Ax=Bx+b\Rightarrow (A-B)x=b$

Calculamos la matriz de coeficientes del sistema:

$A-B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$

Como

$\det (A-B)=\mid \begin{array}{cc}-3& 1\\ -1& -2\end{array}\mid =6+1=7\mathrm{\ne }0$

el sistema es compatible determinado. Escrito por extenso, con $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$:

$\{\begin{array}{l}-3x_1+x_2=1\\ -x_1-2x_2=0\end{array}$

De la segunda ecuación $x_1=-2x_2$, y sustituyendo en la primera:

$6x_2+x_2=1\Rightarrow x_2={\displaystyle \frac{1}{7}}\Rightarrow x_1=-{\displaystyle \frac{2}{7}}$

Por tanto:

$x=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{2}{7}}\\ {\displaystyle \frac{1}{7}}\end{array}\right)$



Usamos las propiedades del determinante de un producto, de una potencia, de una matriz inversa y del producto de una matriz de orden 2 por un escalar:

$\det (A^5(2B{)}^{-1})={\displaystyle \frac{{(\det A)}^5}{\det (2B)}}={\displaystyle \frac{{(\det A)}^5}{2^2\det B}}$

Calculamos los dos determinantes:

$\det A=\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\mid =3,\det B=\mid \begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 3\end{array}\mid =19$

Sustituyendo:

$\det (A^5(2B{)}^{-1})={\displaystyle \frac{3^5}{4\cdot 19}}={\displaystyle \frac{243}{76}}\approx \mathrm{3,1974}$



Escribimos la igualdad matricial:

$\alpha \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Igualando elemento a elemento se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones con dos incógnitas:

$\{\begin{array}{l}2\alpha +5\beta =1\\ -\alpha -2\beta =0\\ \alpha +2\beta =0\\ \alpha +3\beta =1\end{array}$

La segunda y la tercera ecuación son equivalentes y dan $\alpha =-2\beta$. Sustituyendo en la primera:

$-4\beta +5\beta =1\Rightarrow \beta =1\Rightarrow \alpha =-2$

Como el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, hay que comprobar que la solución cumple también la cuarta:

$\alpha +3\beta =-2+3=1$

Por tanto, los valores pedidos existen y son:

$\alpha =-2,\beta =1$