Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$

a) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X=B^t-2X$, donde $B^t$ es la traspuesta de la matriz $B$. [1,25 puntos]

b) Resuelva el sistema matricial de ecuaciones $2X+3Y=A$, $X-2Y=B$. [1,25 puntos]

Agrupamos en un miembro los dos términos que contienen la incógnita. En los dos está multiplicada por la izquierda, así que sacamos factor común por la izquierda con ayuda de la matriz identidad.

$A\cdot X+2X=B^t\Rightarrow (A+2I)\cdot X=B^t$

$A+2I=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 4\end{array}\right)B^t=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A+2I\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 4\end{array}\mid =0+3=3\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero la matriz es invertible, y la calculamos por el método de los adjuntos.

$(A+2I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$

Como la incógnita queda multiplicada por la izquierda, multiplicamos también por la izquierda.

$X=(A+2I{)}^{-1}\cdot B^t={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 2\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}-4+9& 4-6\\ -1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos sustituyendo en la ecuación de partida: $A\cdot X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}-13& 7\\ -7& 4\end{array}\right)$ y $B^t-2X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}-13& 7\\ -7& 4\end{array}\right)$.

La matriz buscada es $X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$.



Es un sistema lineal con dos matrices incógnita y se resuelve por sustitución, igual que si fueran números. De la segunda ecuación despejamos $X$.

$X=B+2Y$

$2(B+2Y)+3Y=A\Rightarrow 7Y=A-2B\Rightarrow Y={\displaystyle \frac{1}{7}}(A-2B)$

$A-2B=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-2& -6\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ -3& -2\end{array}\right)$

$Y={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ -3& -2\end{array}\right)$

$X=B+2Y=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}0& 18\\ -6& -4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-7& -3\\ 1& 10\end{array}\right)$

Comprobamos las dos ecuaciones: $2X+3Y={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-14& 21\\ -7& 14\end{array}\right)=A$ y $X-2Y={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-7& -21\\ 7& 14\end{array}\right)=B$.

Las matrices buscadas son $X={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-7& -3\\ 1& 10\end{array}\right)$ e $Y={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ -3& -2\end{array}\right)$.