Examen de Matemáticas II de Extremadura 2026 (convocatoria ordinaria)

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+y+kz=k\\ kx+(k-1)y+z=2\\ x+y+z=1\end{array}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para el caso $k=2$. [1 punto]

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$

a) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X=B^t-2X$, donde $B^t$ es la traspuesta de la matriz $B$. [1,25 puntos]

b) Resuelva el sistema matricial de ecuaciones $2X+3Y=A$, $X-2Y=B$. [1,25 puntos]

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x+4}{x-2}}$

a) Estudie y obtenga las asíntotas de la función $f$. [1 punto]

b) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=8-8x$ y $g(x)=x^3-4x$

a) Calcule ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}dx}$ [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$. [1,25 puntos]

a) Sean los puntos $A(1,3,-2)$ y $B(3,-1,2)$, calcule la ecuación del plano perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$ y que pasa por el punto que divide el segmento $AB$ en dos partes iguales. [1 punto]

b) Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi :2x-y+2z-4=0$. [0,75 puntos]

c) Obtenga la ecuación del plano paralelo al plano $\pi$ y que pase por el punto $B$. [0,75 puntos]

a) Dados los vectores $\vec{u}=(0,3,-4)$ y $\vec{v}=(12,4,3)$, compruebe que el paralelogramo que forman es un rectángulo y calcule su área. [0,75 puntos]

b) Halle la ecuación del plano formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y el punto $(1,0,0)$. [0,75 puntos]

c) Obtenga un vector perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de módulo 13. [1 punto]

En un estudio realizado por una empresa hotelera se ha obtenido que la distribución del tiempo de estancia del viajero en el hotel es una ley normal de media 3,7 días y desviación típica 1,5 días. Calcule:

a) ¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca en el hotel entre 2 y 5 días? [0,75 puntos]

b) Si se contabilizan 1000 viajeros, ¿cuántos han estado en el hotel más de 7 días? [0,75 puntos]

c) La empresa quiere bonificar con un descuento a los viajeros que permanezcan muchos días. Después de hacer un estudio del presupuesto con el que cuenta la empresa, solo se puede aplicar al 10 % de los viajeros. ¿A partir de qué número de días de permanencia se les podrá aplicar el descuento? [1 punto]