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Examen de Matemáticas II de Extremadura 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Extremadura, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Sean las matrices

A = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & - 1 \end{array})

.

a) Calcule los productos de matrices

A \cdot B

B \cdot A

. ¿Se cumple que

A \cdot B = B \cdot A

? [1 punto]

b) Compruebe si es cierta la igualdad

(A + B)^{2} = A^{2} + B^{2}

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

a) Estudie en función del parámetro

λ \in R

el siguiente sistema de ecuaciones: [1,25 puntos]

\begin{array}{rcrcrcl} x & + & λ z & = & 1 \\ x & + & y & + & λ z & = & 1 \\ λ x & - & y & + & z & = & 1 \end{array}}

b) Resuelva el sistema (si es posible) para

λ = 1

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Álgebra

Sean los vectores

\vec{u} = (4, 3, α)

\vec{v} = (α, 1, 0)

\vec{w} = (2 α, 1, α)

, con

α \in R

.

a) Determine los valores de

α

para que

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

sean linealmente independientes. [1 punto]

b) Para el valor

α = 1

exprese

\vec{w}

como combinación lineal de

\vec{u}

\vec{v}

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Dados el plano

Π_{1}

determinado por los puntos

(0, 1, 1)

(2, 0, 2)

(1, 2, 6)

, y el plano

Π_{2}

dado por la ecuación

x - y + z = 3

, calcule una recta que sea paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos. [2 puntos]

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Ejercicio 5: Funciones

Sea la función

f (x) = \frac{4 x}{1 + x^{2}}

.

a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función

f (x)

. [1,5 puntos]

b) Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función

f (x)

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Calcule los valores de

a

b

sabiendo que la siguiente función

f (x)

es derivable en todo su dominio:

f (x) = {\begin{cases} 2 x^{2} + a x + b & si x \leq 1 \\ - 2 + \ln (x) & si x > 1 \end{cases}

[2 puntos]

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Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Sean las funciones

f (x) = 1 - x^{2}

g (x) = - 3

.

a) Represente la región plana encerrada por las funciones

f (x)

g (x)

. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcule la integral

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

Se realizaron dos debates electorales, uno el lunes y otro el martes. Se hizo una encuesta a 1.500 personas para estimar la audiencia, de las cuales: 1.100 personas vieron el debate del lunes, 1.000 vieron el debate del martes y 300 no vieron ninguno. Eligiendo al azar a uno de los encuestados:

a) Calcule la probabilidad de que viera los dos debates. [1 punto]

b) Si vio el debate del lunes, calcule la probabilidad de que viera el del martes. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

El radio de un pistón se distribuye según una distribución normal de media 5 cm y desviación típica de 0,01 cm.

a) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio mayor que 5,01 cm. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio entre 4,98 y 5 cm. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10