Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule la integral ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x}{x^2-x-2}}dx}$. [2 puntos]

El integrando es una función racional con el numerador de grado menor que el denominador, así que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}$

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

Las dos raíces son reales y simples, luego

${\displaystyle \frac{3x}{(x-2)(x+1)}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$

$3x=A(x+1)+B(x-2)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=2\Rightarrow 6=3A\Rightarrow A=2$

$x=-1\Rightarrow -3=-3B\Rightarrow B=1$

Integramos término a término; las dos son inmediatas de tipo logarítmico:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x}{x^2-x-2}}dx=\int ({\displaystyle \frac{2}{x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})dx=2\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C}$

La integral pedida es $2\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$, que agrupando los logaritmos se escribe también como $\ln \mid (x-2{)}^2(x+1)\mid +C$.