Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados el plano ${\mathrm{\Pi }}_1$ determinado por los puntos $(0,1,1)$, $(2,0,2)$ y $(1,2,6)$, y el plano ${\mathrm{\Pi }}_2$ dado por la ecuación $x-y+z=3$, calcule una recta que sea paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos. [2 puntos]

Una recta paralela a los dos planos tiene que ser perpendicular a las dos normales, de modo que su vector director es el producto vectorial de ambas: es decir, lleva la misma dirección que la recta en la que se cortan los planos. Empezamos hallando la ecuación de ${\mathrm{\Pi }}_1$.

$\overrightarrow{PQ}=(2,0,2)-(0,1,1)=(2,-1,1)\overrightarrow{PR}=(1,2,6)-(0,1,1)=(1,1,5)$

${\vec{n}}_1=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 1\\ 1& 1& 5\end{array}\mid =(-5-1)\vec{i}-(10-1)\vec{j}+(2+1)\vec{k}=(-6,-9,3)$

Dividiendo entre $-3$ queda un normal más manejable, ${\vec{n}}_1=(2,3,-1)$, y con el punto $(0,1,1)$:

${\mathrm{\Pi }}_1:2x+3y-z+D=0\Rightarrow 0+3-1+D=0\Rightarrow D=-2$

${\mathrm{\Pi }}_1:2x+3y-z-2=0$

Del segundo plano leemos su normal directamente:

${\mathrm{\Pi }}_2:x-y+z-3=0\Rightarrow {\vec{n}}_2=(1,-1,1)$



El vector director de la recta buscada es:

$\vec{d}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 3& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =(3-1)\vec{i}-(2+1)\vec{j}+(-2-3)\vec{k}=(2,-3,-5)$

Falta elegir un punto que no pertenezca a ninguno de los dos planos. Probamos con el origen:

$2\cdot 0+3\cdot 0-0-2=-2\mathrm{\ne }00-0+0-3=-3\mathrm{\ne }0$

El origen sirve, de modo que una recta que cumple lo pedido es

$r:\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-3t\\ z=-5t\end{array}t\in \mathbb{R}\text{o bien}r:{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{-3}}={\displaystyle \frac{z}{-5}}$

Cualquier otra recta con ese mismo director y un punto fuera de los dos planos también sirve: el problema tiene infinitas soluciones.