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Examen de Matemáticas II de Extremadura 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Extremadura, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Estudie el rango de la matriz A−λ⋅I según los valores de λ∈R, donde A=(002101−103) e I es la matriz identidad de orden 3. [2 puntos]

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Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Discuta el sistema x+y+z=2a−12x+y+az=ax+ay+z=1} para los distintos valores del parámetro a∈R. [1,5 puntos]

Resuelva el sistema en el caso a=1. [0,5 puntos]

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Ejercicio 3: Geometría

Sean los vectores u⃗=(0,0,2), v⃗=(1,1,0) y w⃗=(2,−1,1).

a) ¿Son u⃗, v⃗ y w⃗ linealmente independientes? [0,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo formado por los vectores u⃗ y v⃗. [0,75 puntos]

c) Calcule un vector de módulo uno perpendicular a los vectores v⃗ y w⃗. [0,75 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Dados los puntos A=(0,0,2) y B=(1,1,0) y la recta r≡{x=1y=z.

a) Halle el plano que contiene a r y es paralelo al vector AB→. [1,25 puntos]

b) Halle la distancia del punto A a la recta r. [0,75 puntos]

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Ejercicio 5: Derivadas

Calcule los coeficientes a, b, c y d del polinomio p(x)=a+bx+cx2+dx3, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: [2 puntos]

• p(x) tiene un máximo relativo en x=−1.

• La gráfica de p(x) tiene un punto de inflexión en (0,0).

• La recta tangente a la gráfica de p(x) en x=2 tiene pendiente 3.

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Ejercicio 6: Límites y continuidad

Encuentre los valores de a y b para que la función

f(x)={2x2+ax+bsi x≤1ln⁡(x)si x>1

sea continua en x=1 y su gráfica pase por el punto (−1,5). [2 puntos]

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Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Determine la primitiva F(x) de la función f(x)=(x+1)ex+1 que cumple F(0)=−1. [2 puntos]

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Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones f(x)=x3−3x2+3x y g(x)=x. [2 puntos]

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Ejercicio 9: Probabilidad

Un club de montaña organiza dos tipos de actividades para sus afiliados. El 70 % de ellos se apuntan a escalada, el 60 % a barranquismo y el 45 % de ellos practica las dos. Si se elige al azar un afiliado:

a) Calcule la probabilidad de que practique sólo una de las dos actividades. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que no practique ninguna. [0,5 puntos]

c) Sabiendo que hace barranquismo, calcule la probabilidad de que no haga escalada. [0,75 puntos]

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Ejercicio 10: Distribución normal

Los relojes de cierta marca tienen una vida útil que se ajusta a una distribución normal de media 10 años y desviación típica de 2 años. Si compramos un reloj de esta marca:

a) Calcule la probabilidad de que dure entre 9 y 12 años. [1 punto]

b) ¿Cuánto tiempo tendrá que durar el reloj si queremos que el 90 % de los relojes de esa marca duren menos que el nuestro? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

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