Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Determine la primitiva $F(x)$ de la función $f(x)=(x+1)e^{x+1}$ que cumple $F(0)=-1$. [2 puntos]

Es una integral de polinomio por exponencial, que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, para que al derivarlo desaparezca.

$\{\begin{array}{ll}u=x+1& du=dx\\ dv=e^{x+1}dx& v=e^{x+1}\end{array}$

${\displaystyle \int (x+1)e^{x+1}dx=(x+1)e^{x+1}-\int e^{x+1}dx=(x+1)e^{x+1}-e^{x+1}+C}$

Sacamos factor común la exponencial y el paréntesis se simplifica:

$=e^{x+1}(x+1-1)+C=x{e}^{x+1}+C$

De todas las primitivas elegimos la que cumple $F(0)=-1$:

$F(0)=0\cdot e^1+C=C=-1$

Comprobamos derivando, con la regla del producto:

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x+1}+x{e}^{x+1}=(x+1)e^{x+1}=f(x)$

La primitiva pedida es $F(x)=x{e}^{x+1}-1$.