Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Determine la función $f(x)$ tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x+1)e^{-x}$. [2 puntos]

La función buscada es una primitiva de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, así que integramos y después elegimos la constante con la condición de que la gráfica pase por el origen. Es una integral de polinomio por exponencial, que se hace por partes tomando como $u$ el polinomio.

$\{\begin{array}{ll}u=2x+1& du=2dx\\ dv=e^{-x}dx& v=-e^{-x}\end{array}$

${\displaystyle \int (2x+1)e^{-x}dx=-(2x+1)e^{-x}+\int 2e^{-x}dx}$

$=-(2x+1)e^{-x}-2e^{-x}+C=-e^{-x}(2x+1+2)+C=-(2x+3)e^{-x}+C$

Pasar por el origen de coordenadas significa que $f(0)=0$:

$f(0)=-(0+3)e^0+C=-3+C=0\Rightarrow C=3$

Comprobamos derivando el resultado, con la regla del producto:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-x}+(2x+3)e^{-x}=e^{-x}(-2+2x+3)=(2x+1)e^{-x}$

La función pedida es $f(x)=-(2x+3)e^{-x}+3$.