Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Resuelva la integral ${\displaystyle \int {\ln }^2(x)dx}$. [2 puntos]

El integrando no es un producto aparente, pero se resuelve por partes tomando $dv=dx$: al derivar el logaritmo al cuadrado baja el exponente y la integral se simplifica.

$\{\begin{array}{ll}u={\ln }^2(x)& du={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{x}}dx\\ dv=dx& v=x\end{array}$

${\displaystyle \int {\ln }^2(x)dx=x{\ln }^2(x)-\int x\cdot {\displaystyle \frac{2\ln (x)}{x}}dx=x{\ln }^2(x)-2\int \ln (x)dx}$

La integral que queda se hace otra vez por partes, con el mismo criterio:

$\{\begin{array}{ll}u=\ln (x)& du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ dv=dx& v=x\end{array}$

${\displaystyle \int \ln (x)dx=x\ln (x)-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=x\ln (x)-x}$

Sustituimos en la expresión anterior:

${\displaystyle \int {\ln }^2(x)dx=x{\ln }^2(x)-2(x\ln (x)-x)+C=x{\ln }^2(x)-2x\ln (x)+2x+C}$

Comprobamos derivando el resultado:

${[x{\ln }^{2}x-2x\ln x+2x]}^{\mathrm{\prime }}={\ln }^{2}x+2\ln x-2\ln x-2+2={\ln }^{2}x$

La integral pedida es $x{\ln }^2(x)-2x\ln (x)+2x+C$, definida para $x>0$.