Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x)=1-x^2$ y $g(x)=-3$.

a) Represente la región plana encerrada por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte, que son los que cierran la región.

$1-x^2=-3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

La primera curva es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,1)$, y la segunda es la recta horizontal $y=-3$. Entre los dos cortes la parábola queda por encima:

$(f-g)(0)=1-(-3)=4>0$



La región es la comprendida entre la parábola, por arriba, y la recta, por abajo, entre las abscisas $x=-2$ y $x=2$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, y aplicamos la regla de Barrow.

$A={\displaystyle {\int }_{-2}^2[(1-x^2)-(-3)]dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx}$

$={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^2=(8-{\displaystyle \frac{8}{3}})-(-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})=16-{\displaystyle \frac{16}{3}}$

$={\displaystyle \frac{48-16}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área de la región es de $\frac{32}{3}\approx \mathrm{10,6667}$ unidades de área.