Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{x^3+2}{x^2-1}}$, para $x\mathrm{\ne }-1$, $x\mathrm{\ne }1$. Calcule una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. [2,5 puntos]

Se trata de una integral racional en la que el grado del numerador supera al del denominador, así que empezamos efectuando la división entera y después descomponemos en fracciones simples el resto.

$x^3+2=x(x^2-1)+(x+2)\Rightarrow f(x)=x+{\displaystyle \frac{x+2}{x^2-1}}$

${\displaystyle \frac{x+2}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$

$x+2=A(x+1)+B(x-1)$

$x=1\Rightarrow 3=2A\Rightarrow A={\displaystyle \frac{3}{2}};x=-1\Rightarrow 1=-2B\Rightarrow B=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Integramos ya cada sumando por separado:

${\displaystyle \int f(x)dx=\int xdx+{\displaystyle \frac{3}{2}}\int {\displaystyle \frac{dx}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{dx}{x+1}}}$

$F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$

Imponemos por último que la gráfica pase por $(0,1)$, es decir, que $F(0)=1$:

$F(0)=0+{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 1+C=C$

$C=1$

La primitiva pedida es $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+1$.