Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Sean $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x)=-x^2+7$ y $g(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-1\mathrm{\mid }$.

a) Halle los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Realice un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. [1 punto]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{acotado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La segunda función lleva un valor absoluto, así que empezamos escribiéndola a trozos según el signo de $x^2-1$, que se anula en $x=\pm 1$.

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{si }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 1\\ 1-x^2& \text{si }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1\end{array}$

Igualamos las dos funciones en cada tramo. Para $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 1$:

$-x^2+7=x^2-1\Rightarrow 2x^2=8\Rightarrow x=\pm 2$

Los dos valores cumplen $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 1$, luego son válidos. Para $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$:

$-x^2+7=1-x^2\Rightarrow 7=1$

que es imposible, de modo que en la franja central las gráficas no se cortan. Calculamos la ordenada común:

$f(\pm 2)=-4+7=3$

Las gráficas se cortan en los puntos $(-2,3)$ y $(2,3)$. Entre esas abscisas la parábola $f$ queda por encima, pues en $x=0$ vale $7$ frente a $1$, y el recinto que encierran es el sombreado:



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El área es la integral de la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, pero como $g$ cambia de expresión en $x=\pm 1$ hay que partir el intervalo. Las dos funciones son pares, así que basta integrar de $0$ a $2$ y duplicar.

$\mathcal{A}=2[{\int }_0^1[(-x^2+7)-(1-x^2)]dx+{\int }_1^2[(-x^2+7)-(x^2-1)]dx]$

En el primer sumando los términos de segundo grado se cancelan:

${\int }_0^{1}6dx={\left[6x\right]}_0^1=6$

En el segundo:

${\int }_1^2(8-2x^2)dx={[8x-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_1^2=(16-{\displaystyle \frac{16}{3}})-(8-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{10}{3}}$

Sumamos y duplicamos:

$\mathcal{A}=2(6+{\displaystyle \frac{10}{3}})=2\cdot {\displaystyle \frac{28}{3}}={\displaystyle \frac{56}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{56}{3}}\approx \mathrm{18,67}$ unidades de área.