Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Sea $f$ la función definida por $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+4& \text{si }x<0\\ (x-2{)}^2& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con el eje de abscisas y esboce la gráfica de la función. [1 punto]

b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y por el eje de abscisas. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{esboce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Igualamos a cero cada rama, quedándonos solo con las soluciones que caen dentro del intervalo en que esa rama está definida.

$2x+4=0\Rightarrow x=-2$

El valor cumple $x<0$, luego es válido.

$(x-2{)}^2=0\Rightarrow x=2$

También es válido, pues $2\ge 0$. Comprobamos además que la función es continua en el empalme, lo que da la forma de la gráfica:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }(2x+4)=4=(0-2{)}^2=f(0)}$

La gráfica es una recta de pendiente $2$ hasta el punto $(0,4)$ y, a partir de ahí, la parábola de vértice $(2,0)$ y ramas hacia arriba:



Los puntos de corte con el eje de abscisas son $(-2,0)$ y $(2,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El recinto cerrado queda entre las dos abscisas de corte, y en todo él la función es positiva o nula, así que el área es la integral de $f$ sin valor absoluto. Hay que partirla en $x=0$ porque ahí cambia la expresión.

$\mathcal{A}={\int }_{-2}^0(2x+4)dx+{\int }_0^2{(x-2)}^{2}dx$

${\int }_{-2}^0(2x+4)dx={[x^2+4x]}_{-2}^0=0-(4-8)=4$

${\int }_0^2{(x-2)}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{(x-2{)}^3}{3}}\right]}_0^2=0-(-{\displaystyle \frac{8}{3}})={\displaystyle \frac{8}{3}}$

$\mathcal{A}=4+{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas es de ${\displaystyle \frac{20}{3}}\approx \mathrm{6,67}$ unidades de área.