Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=4x^3-x^4$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1 punto]

b) Esboce la gráfica de $f$ y calcule el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La función es polinómica, luego derivable en todo $\mathbb{R}$. La monotonía la da el signo de la derivada primera, que factorizamos para leerlo de un vistazo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-4x^3=4x^2(3-x)$

$4x^2(3-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\text{ (doble)}\\ x=3\end{array}$

El factor $4x^2$ es positivo salvo en $x=0$, donde se anula sin cambiar de signo, de modo que el signo de la derivada lo decide únicamente $3-x$:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=4\cdot 4=16>0;f^{\mathrm{\prime }}(1)=4\cdot 2=8>0;f^{\mathrm{\prime }}(4)=64\cdot (-1)<0$

La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },3)$ y decreciente en $(3,+\mathrm{\infty })$. En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, así que ahí no hay extremo, sino un punto de inflexión con tangente horizontal. En $x=3$ sí hay un máximo, de valor $f(3)=108-81=27$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Esboce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Localizamos los cortes con el eje de abscisas sacando factor común:

$4x^3-x^4=x^3(4-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\text{ (triple)}\\ x=4\end{array}$

Entre esas dos abscisas la función es positiva, como se comprueba en $x=2$, donde vale $32-16=16$. Con el máximo y el punto de inflexión del apartado anterior, la gráfica y el recinto son:



Al ser $f$ positiva en todo el recinto, el área es la integral sin valor absoluto:

$\mathcal{A}={\int }_0^4(4x^3-x^4)dx={[x^4-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}]}_0^4$

$=256-{\displaystyle \frac{1024}{5}}={\displaystyle \frac{1280-1024}{5}}={\displaystyle \frac{256}{5}}$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas es de ${\displaystyle \frac{256}{5}}=\mathrm{51,2}$ unidades de área.