Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $F:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ definida por

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x(2t+\sqrt{t})dt\mathrm{.}}$

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x=1$. [2,5 puntos]

Para escribir la tangente necesitamos dos números: $F(1)$ y $F^{\mathrm{\prime }}(1)$. La derivada la da el teorema fundamental del cálculo sin necesidad de integrar, porque el integrando es continuo en $[0,+\mathrm{\infty })$.

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+\sqrt{x}\Rightarrow F^{\mathrm{\prime }}(1)=2+1=3$

Para el valor de la función sí hay que integrar, y la integral es inmediata:

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x(2t+\sqrt{t})dt={[t^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^{3\mathrm{/}2}]}_0^x=x^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3\mathrm{/}2}}$

$F(1)=1+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$

Comprobamos, derivando esta expresión, que se recupera el integrando:

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{1\mathrm{/}2}=2x+\sqrt{x}$

Escribimos por último la ecuación punto-pendiente en $(1,\frac{5}{3})$:

$y-{\displaystyle \frac{5}{3}}=3(x-1)$

$y=3x-3+{\displaystyle \frac{5}{3}}$

La recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x=1$ es $y=3x-{\displaystyle \frac{4}{3}}$.