Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule $a>0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x)=x{e}^{3x}$, el eje de abscisas y la recta $x=a$ vale ${\displaystyle \frac{1}{9}}$. [2,5 puntos]

La función se anula únicamente en $x=0$ y es positiva para $x>0$, porque la exponencial nunca cambia de signo. La región queda, pues, limitada entre $x=0$ y $x=a$, y el área es la integral sin valor absoluto.

Calculamos primero una primitiva integrando por partes, con $u=x$ y $dv=e^{3x}dx$:

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=e^{3x}dx& v={\displaystyle \frac{e^{3x}}{3}}\end{array}$

${\displaystyle \int x{e}^{3x}dx={\displaystyle \frac{x{e}^{3x}}{3}}-\int {\displaystyle \frac{e^{3x}}{3}}dx={\displaystyle \frac{x{e}^{3x}}{3}}-{\displaystyle \frac{e^{3x}}{9}}={\displaystyle \frac{e^{3x}(3x-1)}{9}}}$

Aplicamos la regla de Barrow entre $0$ y $a$:

$\mathcal{A}={\left[{\displaystyle \frac{e^{3x}(3x-1)}{9}}\right]}_0^a={\displaystyle \frac{e^{3a}(3a-1)}{9}}-{\displaystyle \frac{1\cdot (-1)}{9}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{e^{3a}(3a-1)+1}{9}}$

Imponemos la condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{e^{3a}(3a-1)+1}{9}}={\displaystyle \frac{1}{9}}\Rightarrow e^{3a}(3a-1)=0$

Un producto se anula cuando lo hace uno de sus factores, y la exponencial no se anula nunca:

$3a-1=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{3}}$

El valor obtenido cumple la condición $a>0$ del enunciado.

El valor pedido es $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$.