Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) [1 punto] Sea el plano $\pi \equiv x-3y+z=0$ y los puntos $A=(0,0,-1)$ y $B=(1,1,1)$. Obtenga el plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $A$ y $B$.

b) [1,5 puntos] Calcule el área de la región delimitada por las funciones $f(x)=x^2-4x+5$ y $g(x)=3-x$.

El plano buscado, que llamamos $\sigma$, contiene la dirección $\overrightarrow{AB}$ y, por ser perpendicular a $\pi$, contiene también la dirección de ${\vec{n}}_{\pi }$. Su vector normal es entonces el producto vectorial de ambos.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,1)-(0,0,-1)=(1,1,2)$

${\vec{n}}_{\pi }=(1,-3,1)$





${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{n}}_{\pi }\times \overrightarrow{AB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -3& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =(-7,-1,4)$

Cambiar el signo de un vector normal no altera el plano, así que trabajamos con $(7,1,-4)$:

$\sigma :7x+y-4z+D=0$

Imponemos que $A(0,0,-1)\in \sigma$:

$0+0+4+D=0\Rightarrow D=-4$

El plano pedido es $\sigma :7x+y-4z-4=0$. Se comprueba que también contiene a $B$: $7+1-4-4=0$.



Buscamos los puntos de corte de las dos curvas, que son los límites de integración.

$x^2-4x+5=3-x\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Averiguamos cuál va por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=\frac{3}{2}$:

$g\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}>f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}-6+5={\displaystyle \frac{5}{4}}$



El área es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo.

$A={\int }_1^2[g(x)-f(x)]dx={\int }_1^2(-x^2+3x-2)dx$

$A={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-2x]}_1^2=(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+6-4)-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-2)$

$A=-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{-16+12+2+3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

El área de la región delimitada por las dos curvas es ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$ unidades cuadradas.