Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Calcule el área encerrada por las gráficas de las funciones $f(x)=x+6$ y $g(x)=\{\begin{array}{ll}-2x& \text{si }x<0\\ x^2& \text{si }x\ge 0\end{array}$. [2 puntos]

Para calcular el área encerrada entre dos gráficas hay que localizar primero sus puntos de corte, que son los que delimitan el recinto, y averiguar después cuál de las dos funciones queda por encima. Como $g$ está definida a trozos, el corte se busca en cada tramo por separado y el recinto se parte en dos.

En el tramo $x<0$, donde $g(x)=-2x$:

$x+6=-2x\Rightarrow 3x=-6\Rightarrow x=-2$

El valor obtenido es negativo, así que es válido; el punto de corte es $(-2,4)$.

En el tramo $x\ge 0$, donde $g(x)=x^2$:

$x+6=x^2\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\end{array}$

Se descarta $x=-2$ por no pertenecer a este tramo, y queda el punto de corte $(3,9)$.

Para saber qué función va por arriba basta evaluar en un punto interior de cada tramo, por ejemplo $x=-1$ y $x=2$:

$f(-1)=5>2=g(-1);f(2)=8>4=g(2)$

La recta queda por encima de $g$ en todo el recinto, que es el de la figura.











$\mathcal{A}={\displaystyle {\int }_{-2}^0[(x+6)-(-2x)]dx+{\int }_0^3[(x+6)-x^2]dx}$

El recinto se parte en $x=0$, que es donde cambia la definición de $g$.





Calculamos por separado cada una de las dos integrales y aplicamos la regla de Barrow.

${\displaystyle {\int }_{-2}^0(3x+6)dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+6x]}_{-2}^0=0-(6-12)=6}$

${\displaystyle {\int }_0^3(-x^2+x+6)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+6x]}_0^3=-9+{\displaystyle \frac{9}{2}}+18={\displaystyle \frac{27}{2}}}$

$\mathcal{A}=6+{\displaystyle \frac{27}{2}}={\displaystyle \frac{39}{2}}=\mathrm{19,5}$

El área encerrada por las dos gráficas es de $\frac{39}{2}=\mathrm{19,5}$ unidades de área.