Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

$f(x)=3x+2x^2,g(x)=x^2+4x+2$

[2 puntos]

Para calcular el área encerrada entre dos curvas se buscan primero sus puntos de corte, que delimitan el recinto, y después se integra la diferencia entre la que va por arriba y la que va por abajo.

$3x+2x^2=x^2+4x+2\Rightarrow x^2-x-2=0$

$x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}$

Los puntos de corte son $(-1,-1)$ y $(2,14)$. Para saber cuál de las dos parábolas queda por encima entre ellos basta evaluarlas en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$:

$f(0)=0<2=g(0)$











La parábola $g$ va por encima en todo el recinto, así que el área es la integral de $g-f$ entre las dos abscisas de corte.

$\mathcal{A}={\displaystyle {\int }_{-1}^2[g(x)-f(x)]dx}$





Operamos primero el integrando y después aplicamos la regla de Barrow.

$g(x)-f(x)=x^2+4x+2-3x-2x^2=-x^2+x+2$

$\mathcal{A}={\displaystyle {\int }_{-1}^2(-x^2+x+2)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x]}_{-1}^2}$

$=(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2+4)-({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-2)={\displaystyle \frac{10}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{6}}={\displaystyle \frac{27}{6}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es de $\frac{9}{2}=\mathrm{4,5}$ unidades de área.