Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Queremos aproximar la función $f(x)=e^x$, con $x$ en el intervalo $[0,1]$, por otra función $g_m(x)=mx$ con $m$ un parámetro en $\mathbb{R}$. Definimos como error de la aproximación la expresión

$\mathrm{err}(m)={\displaystyle {\int }_0^1(f(x)-g_m(x){)}^2\mathrm{d}x\mathrm{.}}$

a) Comprueba que $\mathrm{err}(m)={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-2m+{\displaystyle \frac{m^2}{3}}$ con $m\in \mathbb{R}$. [1,5 puntos]

b) ¿Cuál es el valor de $m\in \mathbb{R}$ que minimiza el error? ¿Cuál será el valor mínimo del error? [1 punto]

Se trata de desarrollar el cuadrado del integrando y calcular la integral definida término a término. El parámetro $m$ es una constante para la integración, que se hace respecto de $x$.

$\mathrm{err}(m)={\displaystyle {\int }_0^1{(e^x-mx)}^{2}dx={\int }_0^1(e^{2x}-2mx{e}^x+m^2{x}^2)dx}$

Separamos en tres integrales y resolvemos cada una. La primera es inmediata:

${\displaystyle {\int }_0^1{e}^{2x}dx={\left[{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

La segunda es una integral por partes:

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=e^{x}dx& v=e^x\end{array}$

${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx={[x{e}^x-e^x]}_0^1=(e-e)-(0-1)=1}$

La tercera vuelve a ser inmediata:

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{3}}}$

Reunimos los tres resultados con sus coeficientes:

$\mathrm{err}(m)=({\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})-2m\cdot 1+m^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-2m+{\displaystyle \frac{m^2}{3}}$

que es exactamente la expresión que había que comprobar.



El error es ahora una función de una sola variable, $m$, y de hecho una parábola con las ramas hacia arriba. Buscamos su mínimo derivando respecto de $m$ e igualando a cero; los dos primeros sumandos son constantes y desaparecen al derivar.

${\mathrm{err}}^{\mathrm{\prime }}(m)=-2+{\displaystyle \frac{2m}{3}}$

${\mathrm{err}}^{\mathrm{\prime }}(m)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{2m}{3}}=2\Rightarrow m=3$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo:

${\mathrm{err}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(m)={\displaystyle \frac{2}{3}}>0\mathrm{\forall }m$

Como la segunda derivada es positiva en todo $\mathbb{R}$, en $m=3$ hay un mínimo relativo que, por ser el único extremo de una parábola convexa, es el mínimo absoluto. Sustituimos para obtener el error cometido:

$\mathrm{err}(3)={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-6+3={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{e^2-7}{2}}\approx \mathrm{0,1945}$

La mejor aproximación de $e^x$ en $[0,1]$ por una recta que pase por el origen se consigue con $m=3$, es decir, con $g_3(x)=3x$, y el error mínimo vale $\frac{e^2-7}{2}\approx \mathrm{0,1945}$.