Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Sea $f(x)=-x^3+4x^2+x-4$. Calcula el área de la región delimitada por $f(x)$ y la recta tangente a $f(x)$ en $x=2$. [2 puntos]

Para delimitar el recinto hacemos primero la recta tangente y después buscamos los puntos en los que corta a la curva; entre esos dos puntos se calcula el área con la integral de la diferencia.

$f(2)=-2^3+4\cdot 2^2+2-4=-8+16+2-4=6$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+8x+1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(2)=-12+16+1=5$

La recta tangente pasa por $(2,6)$ con pendiente 5:

$t:y-6=5(x-2)\Rightarrow t:y=5x-4$

Igualamos las dos expresiones para hallar los puntos de corte:

$-x^3+4x^2+x-4=5x-4$

$-x^3+4x^2-4x=0\Rightarrow -x(x^2-4x+4)=0\Rightarrow -x(x-2{)}^2=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\text{ (doble)}\end{array}$

La raíz doble en $x=2$ era de esperar: ahí la recta es tangente a la curva y no la atraviesa. El recinto queda entonces limitado por $x=0$ y $x=2$.











En el interior del intervalo la diferencia no cambia de signo, y el factor $-x(x-2{)}^2$ es negativo para $0<x<2$, luego la recta va por encima de la curva:

$f(x)-t(x)=-x(x-2{)}^2<0\text{si }0<x<2$

Basta con integrar la diferencia en el orden correcto para que el área salga positiva.





$A={\displaystyle {\int }_0^2[(5x-4)-(-x^3+4x^2+x-4)]dx={\int }_0^2(x^3-4x^2+4x)dx}$

$A={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+2x^2]}_0^2$

$A=({\displaystyle \frac{16}{4}}-{\displaystyle \frac{32}{3}}+8)-0=4-{\displaystyle \frac{32}{3}}+8={\displaystyle \frac{12-32+24}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El área de la región delimitada por la curva y su recta tangente en $x=2$ es $\frac{4}{3}{\text{u}}^2\approx \mathrm{1,33}{\text{u}}^2$.