Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f(x)=\sin (x)$.

a) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcule el área del recinto del plano limitado por $f(x)$ y el eje OX de abscisas para $x\in [0,2\pi ]$. [1,75 puntos]

La integral del seno es inmediata.

$\int \mathrm{sen}xdx=-\cos x+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-\cos x$.



Lo primero es estudiar el signo de la función, porque el seno cambia de signo dentro del intervalo y la integral definida restaría un trozo en lugar de sumarlo. Buscamos sus ceros:

$\mathrm{sen}x=0\Rightarrow x=0,x=\pi ,x=2\pi$

$\mathrm{sen}x\ge 0\text{ en }[0,\pi ],\mathrm{sen}x\le 0\text{ en }[\pi ,2\pi ]$



Hay, pues, dos recintos, y el área total es la suma de sus áreas, cambiando el signo del segundo.

$A_1={\int }_0^{\pi }\mathrm{sen}xdx={[-\cos x]}_0^{\pi }=-\cos \pi +\cos 0=1+1=2$

$A_2=-{\int }_{\pi }^{2\pi }\mathrm{sen}xdx=-{[-\cos x]}_{\pi }^{2\pi }=-(-1-1)=2$

$A=A_1+A_2=2+2=4$

El área del recinto es de $4$ unidades de área. Nótese que la integral entre $0$ y $2\pi$ vale $0$, porque los dos lóbulos se cancelan: si no se hubiera estudiado el signo, el resultado habría sido nulo.