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Examen de Matemáticas II de Cantabria 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cantabria, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Considere las siguientes matrices A=(1−1020321−1), B=(210−121) y C=(−1213−12).

a) Calcule At, donde At denota la traspuesta de la matriz A. [0,5 puntos]

b) Calcule (3B−2C)(At−I), donde I es la matriz identidad de dimensión 3×3. [2 puntos]

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Ejercicio 2: Funciones

Considere la función f(x)=x+1x−2.

a) Calcule el dominio de definición de f(x). [0,5 puntos]

b) Determine si hay intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). En caso afirmativo, calcúlelos. [0,75 puntos]

c) Calcule los cortes de f(x) con los ejes. [0,5 puntos]

d) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de f(x). [0,75 puntos]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

a) Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto (2,−1,0). Es decir, de aquellas que tienen vector director (v1,v2,v3), donde v1,v2,v3∈R son parámetros. [1,5 puntos]

b) De las rectas anteriores, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene vector director (−1,4,1). [1 punto]

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Ejercicio 4: Probabilidad

Cierto test determina si una persona consume cierto tipo de droga. En el 99 % de los casos, el test clasifica como usuario de la droga a aquellos que la han consumido y también en el 99 % de los casos, el test clasifica como no usuarios de la droga a aquellos que no la han consumido. Además, el 0,5 % de las personas a las que se les va a pasar el test consumen la droga.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test? [1,5 puntos]

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Ejercicio 5: Matrices

Considere la matriz A=(122b) en función del parámetro b∈R.

a) Calcule el rango de A para los distintos valores del parámetro b∈R. [0,75 puntos]

b) Determine para qué valores de b∈R la matriz A tiene inversa. [0,75 puntos]

c) Sea B el conjunto formado por los b∈R tales que A tiene inversa. Calcule la inversa de A para los diferentes valores del parámetro b∈B. [1 punto]

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Ejercicio 6: Integrales y Áreas

Considere la función f(x)=sin⁡(x).

a) Calcule una primitiva de f(x). [0,75 puntos]

b) Calcule el área del recinto del plano limitado por f(x) y el eje OX de abscisas para x∈[0,2π]. [1,75 puntos]

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Ejercicio 7: Rectas y Planos

Considere el par de rectas r:{3x−5=yz=0 y s:{6x−2y=1z=0.

a) Calcule la posición relativa de las dos rectas. [1 punto]

b) Dé la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. [0,5 puntos]

c) Dé la ecuación de un plano ortogonal a la recta r. [1 punto]

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Ejercicio 8: Distribución normal

En una población determinada la altura de los niños de 17 años sigue una distribución normal de media 175 cm y desviación típica 7,41.

a) Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre 170 cm y 180 cm. [1 punto]

b) ¿A partir de qué altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del 5 % de niños de 17 años más altos de dicha población? [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

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