Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& b\end{array}\right)$ en función del parámetro $b\in \mathbb{R}$.

a) Calcule el rango de $A$ para los distintos valores del parámetro $b\in \mathbb{R}$. [0,75 puntos]

b) Determine para qué valores de $b\in \mathbb{R}$ la matriz $A$ tiene inversa. [0,75 puntos]

c) Sea $B$ el conjunto formado por los $b\in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $b\in B$. [1 punto]

La matriz es cuadrada de orden $2$, así que su rango es $2$ salvo que su determinante se anule. Lo calculamos.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& b\end{array}\mid =b-4$

$b-4=0\Rightarrow b=4$

Si $b\mathrm{\ne }4$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(A)=2$.

Si $b=4$, la matriz queda

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$

y su segunda fila es el doble de la primera, de modo que solo hay una fila linealmente independiente. Como además $A$ no es la matriz nula,

$\mathrm{ran}(A)=1$



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, es decir, si es de rango máximo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=b-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow b\mathrm{\ne }4$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $b\in B=\mathbb{R}\setminus \{4\}$.



Usamos la adjunta de la traspuesta. Como $A$ es simétrica, coincide con su traspuesta:

$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& b\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(A^t)=\left(\begin{array}{cc}b& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(A^t)}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{b-4}}\left(\begin{array}{cc}b& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

${\displaystyle \frac{1}{b-4}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& -2\\ -2& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{b-4}}\left(\begin{array}{cc}b-4& 0\\ 0& b-4\end{array}\right)=I$