Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere el vector $v=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $v\in {\mathbb{R}}^2$, y la matriz de rotación $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)$.

a) Compruebe para $\theta =\frac{\pi }{2}$ que $R(\theta )\cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $\theta$ en sentido antihorario. [0,5 puntos]

b) Compruebe para $\theta =\frac{\pi }{2}$ que $R^2(\theta )\cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $2\theta$ en sentido antihorario. [0,5 puntos]

c) Compruebe que la matriz $R(\theta )$ es invertible para cualquier valor de $\theta$. [0,5 puntos]

d) Calcule la matriz inversa de $R(\theta )$ y compruebe que $R^{-1}(\theta )=R(-\theta )$. [1 punto]

Particularizamos la matriz de rotación en $\theta =\frac{\pi }{2}$, donde el coseno vale $0$ y el seno vale $1$.

$R\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

$R\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\cdot v=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

El vector de partida $(1,0)$ apunta en el sentido positivo del eje de abscisas y el resultado $(0,1)$ apunta en el sentido positivo del de ordenadas: el vector ha girado ${90}^{\circ }$ en sentido antihorario, que es justo $\theta$.





Elevamos al cuadrado la matriz anterior y volvemos a multiplicar por el vector.

$R^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

$R^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\cdot v=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$

El resultado apunta en el sentido negativo del eje de abscisas, es decir, ha girado ${180}^{\circ }=2\theta$ en sentido antihorario. Era de esperar: aplicar dos veces el mismo giro equivale a girar el doble del ángulo.



Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }R(\theta )\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\mid ={\cos }^2\theta +{\mathrm{sen}}^2\theta =1$

Por la relación fundamental de la trigonometría el determinante vale $1$ sea cual sea el ángulo, luego $\mathrm{\mid }R(\theta )\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y la matriz es invertible para todo $\theta$. Tiene sentido geométrico: todo giro se puede deshacer.



Para una matriz de orden dos basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante, que aquí vale $1$.

$R^{-1}(\theta )={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \mathrm{sen}\theta \\ -\mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)$

Escribimos ahora $R(-\theta )$ usando que el coseno es par y el seno impar:

$\cos (-\theta )=\cos \theta ,\mathrm{sen}(-\theta )=-\mathrm{sen}\theta$

$R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos (-\theta )& -\mathrm{sen}(-\theta )\\ \mathrm{sen}(-\theta )& \cos (-\theta )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \mathrm{sen}\theta \\ -\mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)$

Las dos matrices coinciden término a término, luego $R^{-1}(\theta )=R(-\theta )$: deshacer un giro de ángulo $\theta$ es girar $-\theta$.