Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Considere las matrices:

$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 2\\ 1& a\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Estudie el rango de $AB$, en función de los valores de $a$. [0,75 puntos]

b) Estudie el rango de $BA$, en función de los valores de $a$. [0,75 puntos]

c) Considere $a=1$. Calcule, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $BAX=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)$. [1 punto]

Antes de nada conviene fijar los tamaños, porque el rango de un producto no puede pasar del rango de sus factores. La matriz $A$ es de $3\times 2$ y la $B$ de $2\times 3$, así que $AB$ es de $3\times 3$ y $BA$ de $2\times 2$; en ambos casos el rango será como mucho $2$.

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =-2-1=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2\text{ para todo }a$

$\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(B)=2\text{ para todo }a$



Multiplicamos las dos matrices en ese orden.

$AB=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 2\\ 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 3& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -a& 2\\ 7& a& 4\\ 3a+1& a& 2a\end{array}\right)$

El rango no puede ser $3$, porque no pasa del rango de los factores; comprobado queda que $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=0$ sea cual sea $a$. Buscamos entonces un menor de orden dos no nulo.

$\mid \begin{array}{cc}2& -a\\ 7& a\end{array}\mid =2a+7a=9a$

Ese menor sirve siempre que $a\mathrm{\ne }0$. Para $a=0$ probamos con otras dos columnas de las dos primeras filas:

$\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 7& 4\end{array}\mid =8-14=-6\mathrm{\ne }0$

En ambos casos hay un menor de orden dos distinto de cero.

El rango de $AB$ vale $2$ para todo valor de $a$: el parámetro no influye. Era de esperar, porque $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(B)=2$ y las columnas de $A$ son independientes.



Ahora el producto es de orden $2$ y su determinante sí depende del parámetro.

$BA=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 3& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 2\\ 1& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a-1& 2a+1\\ -1& 2a+3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }BA\mathrm{\mid }=(a-1)(2a+3)+(2a+1)=2a^2+a-3+2a+1=2a^2+3a-2$

$2a^2+3a-2=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm 5}{4}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}},a=-2$

Para esos dos valores el determinante se anula, pero la matriz no es nula, así que le queda rango $1$:

$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow BA=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 2\\ -1& 4\end{array}\right),a=-2\Rightarrow BA=\left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ -1& -1\end{array}\right)$

En las dos la segunda fila es proporcional a la primera y ninguna es la matriz nula.

El rango de $BA$ es $2$ si $a\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$ y $a\mathrm{\ne }-2$, y es $1$ para $a=\frac{1}{2}$ y para $a=-2$.



Como $1$ no es ninguno de los dos valores del apartado anterior, $BA$ tiene rango $2$ y existe su inversa. Sustituimos.

$BA=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 5\end{array}\right),\mathrm{\mid }BA\mathrm{\mid }=0\cdot 5-3\cdot (-1)=3\mathrm{\ne }0$

$(BA{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$

La matriz $BA$ multiplica a $X$ por la izquierda, así que por la izquierda multiplicamos también por su inversa.

$X=(BA{)}^{-1}\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$

Sí es posible: la matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$. La comprobación es inmediata: $\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)$.