Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2023

Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$. Se pide:

a) Calcule, en caso de que sea posible, las dimensiones de una matriz $D$ tal que se pueda realizar el producto $A\cdot D\cdot B$. [0,75 puntos]

b) Estudie si puede existir una matriz $M$ tal que $M\cdot A=B$. [0,5 puntos]

c) Estudie si existe $(B\cdot A{)}^{-1}$ y calcúlela en caso de que sea posible. [1,25 puntos]

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda. Empezamos anotando las dimensiones de las matrices dadas y llamamos $p\times q$ a las de $D$.

$A_{3\times 2},B_{2\times 3},D_{p\times q}$

Para que se pueda hacer $A\cdot D$ hace falta que las 2 columnas de $A$ casen con las filas de $D$:

$p=2\Rightarrow (A\cdot D{)}_{3\times q}$

Para que después se pueda multiplicar por $B$, que tiene 2 filas:

$q=2\Rightarrow (A\cdot D\cdot B{)}_{3\times 3}$

La matriz $D$ ha de ser cuadrada de orden 2, y el producto resultante es de dimensión $3\times 3$.



Repetimos el razonamiento de las dimensiones, ahora imponiendo además que el resultado sea exactamente $B$.

$M_{p\times q}\cdot A_{3\times 2}=B_{2\times 3}$

El producto exige $q=3$, y entonces $M\cdot A$ tiene dimensión $p\times 2$. Para que coincida con $B$ tendría que ser $p\times 2=2\times 3$, lo que obliga a $2=3$.

No puede existir ninguna matriz $M$ que cumpla $M\cdot A=B$: el producto tiene siempre dos columnas y $B$ tiene tres.



Efectuamos primero el producto, que sí se puede hacer porque $B$ tiene 3 columnas y $A$ tiene 3 filas.

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-1+0& 1+1+2\\ -2+0+0& -1+0+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 1\end{array}\right)$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }B\cdot A\mathrm{\mid }=1\cdot 1-4\cdot (-2)=1+8=9\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa. En una matriz de orden 2 se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

$(B\cdot A{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 0& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es $(B\cdot A{)}^{-1}=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 1\end{array}\right)$.