Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2022

Dado $x\in \mathbb{R}$ y las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ -1& x-1& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right)$.

a) Calcule los valores de $x$ para los cuales la matriz $A$ no posee inversa. [1 punto]

b) Calcule el rango de $A$ según los valores de $x$. [0,75 puntos]

c) Para $x=1$, calcule en caso de que sea posible $A\cdot B$ y $A\cdot C$, o indique por qué no se puede realizar. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{posee}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, de modo que los valores buscados son las raíces de ese determinante. Lo desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ -1& x-1& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\mid$

$=-1\mid \begin{array}{cc}x-1& -3\\ 2& 1\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 1\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}-1& x-1\\ 1& 2\end{array}\mid$

$=-1[(x-1)+6]+1[-1+3]-2[-2-(x-1)]$

$=-x-5+2-2(-1-x)=-x-5+2+2+2x=x-1$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$

La matriz $A$ no posee inversa únicamente para $x=1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Si $x\mathrm{\ne }1$, el determinante no se anula y el rango es máximo:

$\mathrm{rg}(A)=3$

Si $x=1$, el determinante vale cero, así que el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 0\end{array}\mid =0-1=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 salvo para $x=1$, donde vale 2.



Antes de operar comprobamos las dimensiones: el producto existe cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el de filas de la segunda.

$A_{3\times 3},B_{3\times 1},C_{1\times 3}$

Para $A\cdot B$ las 3 columnas de $A$ casan con las 3 filas de $B$, así que el producto se puede hacer y da una matriz $3\times 1$.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ -1& 0& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{c}-1+1-2\\ -1+0-3\\ 1-2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$

Para $A\cdot C$ habría que enfrentar las 3 columnas de $A$ con la única fila de $C$:

$A_{3\times 3}\cdot C_{1\times 3}:3\mathrm{\ne }1$

El producto $A\cdot C$ no se puede realizar porque las dimensiones no encajan. Sí sería posible el producto en el otro orden, $C\cdot A$, que daría una matriz $1\times 3$.